"Matematica Avanzada"

Sunday, November 07, 2004

Sistemas de ecuaciones circunferenciales

Cuando hay un punto fuera de una circunferencia y de él salen dos tangentes a una circunferencia
-se sabe que las tangentes son congruentes
- se sabe que el ángulo exterior entre las tangentes es la semidiferencia de los arcos que determinan las tangentes.

Ahora si nos dan el ángulo exterior y nos piden los arcos es fácil calcularlo.
En principio podemos pensar que tiene múltiples soluciones. Claro si el ángulo exterior mide 40 me puedes decir "aaah entonces los arcos podrían ser 100 y 20, porque (100 - 20)/2 = 40". Pero hay una especificación que no se tomó en cuenta: QUE LOS ARCOS SUMAN 360º!!!

(1) x + y = 360
(2) (x-y) /2 = 40.
Multiplico (2) por dos y tengo x - y = 80
Luego x + y = 360
x - y = 80.
2y = 360 - 80 = 280
y = 140
360 - 140 = x
x = 220. Luego 220 - 140 = 80 .. 80/2 = 40 !! se cumple.


Pero por qué 2y = 360 - 80.

Tengo que explicar un teorema aritmético que más bien yo lo llamo "ecuación diferencial"
Pues es el siguiente: Si a la suma de dos números se le resta su diferencia se obtiene el doble del menor.

Ejemplo x + y = 360
x - y = 80
2y = 360 - 80.

Comprobación x + y - (x - y) = 360 - 80
x + y - x + y = 280
2y = 280 Q.E.D.



CONCLUSIÓN: Para todo ángulo exterior a. C(o,r) y punto P de donde salen tangentes a la circunferencia. Arco mayor determinado es A y arco menor determinado es B. El ángulo exterior es igual a 0,5(A - B). A + B = 360. A - B = 2X. (A = 2X + B)
2B = 360 - 2X / 2
B = 180 - X.
y A = 180 + X. Q.E.D.

Ejemplo: Ángulo exterior mide 20. Y tenemos las mismas condiciones de la conclusión.
Entonces:
B = 180 - 20
A = 180 + 20
__________
B = 160
A = 200 comprobación (200 - 160)/2 = 20 ... 40/2 = 20 . Correcto :D !!! este teorema lo acabo de descubrir recién.
jajaja y también descubrí que en ningún caso el ángulo exterior X puede ser 180 habiendo dos tangentes pues no se podría... serían tangentes paralelas :s !!! y al no intersectarse no hay ángulo exterior xPPPP

jajaja increíble soy... acabo de descubrir esto... yo solo quería explicar como encontrar los arcos A y B pero no pensé que llegaría a que A = 180 + X y que B = 180 - x.

Ejemplo 2) Ángulo exterior mide 60.
Luego A = 180 + 60 B= 180 - 60
A = 240 y B = 120. !! BKN!! me resultó!!! (pues ambos suman 360 y su semidiferencia es 60).

Ejemplo 3) Ángulo exterior mide 120.
A = 180 + 120 . B= 180 - 120.
A = 300. B = 60.
wow!!!




Sistema de ecuación circunferencial para las condiciones:
1) Existe un punto exterior a la circunferencia P.
2) Se traza una secante (toca en dos puntos a la circunferencia) que corresponde al DIÁMETRO.
3) Se traza una tangente a la circunferencia.
4) El angulo entre la secante y la tangente es X.
5) Los dos arcos son el mayor A y el menor B.

Sistema de ecuación:
(1) A + B = 180
(2) A - B = 2X
Luego restando:
2B = 180 - 2X / : 2
B = 90 - X.
Ahora 180 - 90 + X = A
A = 90 + X.

Entonces A = 90 - X y B= 90 + X. !!!
WOW !! tal como lo pensaba :D
Ahora:
Ejemplo 1) El ángulo exterior mide 30.
A = 90 + 30 = 120
B = 90 - 30 = 60.
120 + 60 = 180 si se cumple entonces está correcto :D

Ejemplo 2) El ángulo exterior mide 10º
A = 90 + 10 = 100
B = 90 - 10 = 80.
100 + 80 = 180 !! BIEN !

Ejemplo 3) El ángulo exterior mide 89º
A = 90 + 89 = 179º
B = 90 - 10 ) = 1º jaja que pequeño el ángulo
179 + 1 = 180º ! BIEN!!!

Ejemplo 4) El ángulo exterior mide 20º.
A = 90 + 20 = 110º
B= 90 - 20 = 70º
:D

bueno ese fue mi valioso aporte del día :D :D :D VIVA LA MATEMÁTICA :D

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