"Matematica Avanzada"

Wednesday, November 10, 2004

Expresar 5 + 2(6)^0,5

"Expresar cinco más dos raíz cuadrada de 6" como un cuadrado de binomio.

Primero q nada tendría que extraer raíz cuadrada a (5 + 2(V6))

(Nota convencional: todo lo que está seguido de V es raíz cuadrada)

Para ello recurro a "ecuaciones" de la forma V(a + V(b)) = Vx + Vy donde X y Y son los números que quiero buscar para factorizar 5 + 2V6.

Luego.. a = 5 y B = 24 ( si expreso 2V6 como una raíz única queda V24) .

Hay una definición que es una incógnita auxiliar cuyo valor se puede definir de la siguiente forma
m = V(a2 - b) . En este caso m = V(25 - 24) que es raíz cuadrada de uno y es lo mismo que UNO!.

Luego si m = 1. Se define que X = (a + m)/2 y que Y = (a - m)/2

(ESTO LO VI EN EL BALDOR DE ÁLGEBRA HACE TIEMPO POR SI ACASO ASÍ QUE TIENE SUSTENTO).

X = (5 + 1)/2 = 3.
Y = (5 - 1)/2 = 2.
Entonces 5 + 2V6 (o 5 + V24) = (V3 + V2)(V3 + V2) o (V3 + V2)^2.


Se lee "cinco más dos raíz de seis es igual al cuadrado de, raíz cuadrada de dos, más raíz cuadrada de tres". Si tuviera el editor de ecuaciones lo escribiría bien =D. Bueno pronto estará todo esto en mi web :). !!

ESO FUE EL APORTE DE HOY: SACAR RAÍCES CUADRADAS A BINOMIOS CUYO PRIMER TÉRMINO SEA UN ENTERO Y CUYO SEGUNDO TÉRMINO SEA UN IRRACIONAL DE LA FORMA Va.

Ecuaciones de Tercer grado y de cuarto grado

Hoy me levanté algo más temprano por lo cual pude encontrar en internet fórmulas para la ecuación de tercer grado y de cuarto grado. En mi web las pondré pero en vacaciones, cuando haya tiempo. Son muy largas y cuesta diferenciar los signos que cambian en la soluciones. Aprenderse UNA solución de las 3 o 4 de la ec. 3º grado o cuarto es pero MUY REBUSCADO y difícil. Ningún matemático se la podría aprender. Habría que ser prácticamente perfecto. Es como si quisieras aprenderte todos los números decimales que se han descubierto de Pi. (3,14159265358979... esos son los que me sé xDDD).


Lo más grande que me he aprendido es :
Desarrollo de (a + b + c)3 (elevado al cubo) = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc !! cou?!!?!? xDDD

Sunday, November 07, 2004

Números Metálicos

Ya hablaré de ellos ^^ mañana o la próxima semana :D

Sistemas de ecuaciones circunferenciales

Cuando hay un punto fuera de una circunferencia y de él salen dos tangentes a una circunferencia
-se sabe que las tangentes son congruentes
- se sabe que el ángulo exterior entre las tangentes es la semidiferencia de los arcos que determinan las tangentes.

Ahora si nos dan el ángulo exterior y nos piden los arcos es fácil calcularlo.
En principio podemos pensar que tiene múltiples soluciones. Claro si el ángulo exterior mide 40 me puedes decir "aaah entonces los arcos podrían ser 100 y 20, porque (100 - 20)/2 = 40". Pero hay una especificación que no se tomó en cuenta: QUE LOS ARCOS SUMAN 360º!!!

(1) x + y = 360
(2) (x-y) /2 = 40.
Multiplico (2) por dos y tengo x - y = 80
Luego x + y = 360
x - y = 80.
2y = 360 - 80 = 280
y = 140
360 - 140 = x
x = 220. Luego 220 - 140 = 80 .. 80/2 = 40 !! se cumple.


Pero por qué 2y = 360 - 80.

Tengo que explicar un teorema aritmético que más bien yo lo llamo "ecuación diferencial"
Pues es el siguiente: Si a la suma de dos números se le resta su diferencia se obtiene el doble del menor.

Ejemplo x + y = 360
x - y = 80
2y = 360 - 80.

Comprobación x + y - (x - y) = 360 - 80
x + y - x + y = 280
2y = 280 Q.E.D.



CONCLUSIÓN: Para todo ángulo exterior a. C(o,r) y punto P de donde salen tangentes a la circunferencia. Arco mayor determinado es A y arco menor determinado es B. El ángulo exterior es igual a 0,5(A - B). A + B = 360. A - B = 2X. (A = 2X + B)
2B = 360 - 2X / 2
B = 180 - X.
y A = 180 + X. Q.E.D.

Ejemplo: Ángulo exterior mide 20. Y tenemos las mismas condiciones de la conclusión.
Entonces:
B = 180 - 20
A = 180 + 20
__________
B = 160
A = 200 comprobación (200 - 160)/2 = 20 ... 40/2 = 20 . Correcto :D !!! este teorema lo acabo de descubrir recién.
jajaja y también descubrí que en ningún caso el ángulo exterior X puede ser 180 habiendo dos tangentes pues no se podría... serían tangentes paralelas :s !!! y al no intersectarse no hay ángulo exterior xPPPP

jajaja increíble soy... acabo de descubrir esto... yo solo quería explicar como encontrar los arcos A y B pero no pensé que llegaría a que A = 180 + X y que B = 180 - x.

Ejemplo 2) Ángulo exterior mide 60.
Luego A = 180 + 60 B= 180 - 60
A = 240 y B = 120. !! BKN!! me resultó!!! (pues ambos suman 360 y su semidiferencia es 60).

Ejemplo 3) Ángulo exterior mide 120.
A = 180 + 120 . B= 180 - 120.
A = 300. B = 60.
wow!!!




Sistema de ecuación circunferencial para las condiciones:
1) Existe un punto exterior a la circunferencia P.
2) Se traza una secante (toca en dos puntos a la circunferencia) que corresponde al DIÁMETRO.
3) Se traza una tangente a la circunferencia.
4) El angulo entre la secante y la tangente es X.
5) Los dos arcos son el mayor A y el menor B.

Sistema de ecuación:
(1) A + B = 180
(2) A - B = 2X
Luego restando:
2B = 180 - 2X / : 2
B = 90 - X.
Ahora 180 - 90 + X = A
A = 90 + X.

Entonces A = 90 - X y B= 90 + X. !!!
WOW !! tal como lo pensaba :D
Ahora:
Ejemplo 1) El ángulo exterior mide 30.
A = 90 + 30 = 120
B = 90 - 30 = 60.
120 + 60 = 180 si se cumple entonces está correcto :D

Ejemplo 2) El ángulo exterior mide 10º
A = 90 + 10 = 100
B = 90 - 10 = 80.
100 + 80 = 180 !! BIEN !

Ejemplo 3) El ángulo exterior mide 89º
A = 90 + 89 = 179º
B = 90 - 10 ) = 1º jaja que pequeño el ángulo
179 + 1 = 180º ! BIEN!!!

Ejemplo 4) El ángulo exterior mide 20º.
A = 90 + 20 = 110º
B= 90 - 20 = 70º
:D

bueno ese fue mi valioso aporte del día :D :D :D VIVA LA MATEMÁTICA :D

Ecuación Cuadrática ( o de grado dos o de segundo grado) + Factorizacion "sintética"

1) Ec. cuadrática V Ec. de segundo grado V Ec. de grado dos:
ax2 + bx + c = 0 .
x= [-b + - (b2 - 4ac)^0,5]/2a nota : ^0,5 quiere decir que es la raíz de todo eso

al encontrar x1 y x2 (xq se demostró que una ecuación de grado N tiene máximo N soluciones aah y en ciertos casos las soluciones son iguales creo que esas eran x = 0).

Bueno y en ax2 + bx + c = 0 la factorizacion de ax2 + bx + c nos sirve para una prueba si nos preguntan factorizar un trinomio de esa forma. Lo puedes factorizar transformandolo a ec. de segundo grado (es decir le agregamos un = 0). Y encontramos x1 y x2. Luego tenemos que se factoriza a(x - x1)(x - x2).

Nota: todas estas demostraciones las haré cuando tenga más tiempo pues me las sé.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES (o soluciones) de una ecuación de grado dos:
a) Suma de las raíces = -b/a (x1 + x2)
b) producto de las raíces = c/a (x1x2)

Ahora demostrar que ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)

1) a(x - x1)(x - x2) ... desarrollo del (x - x1)(x - x2) como producto entre dos binomios con un término común y así queda:
(x - x1)(x - x2) = x2 - (x1 + x2)x + x1x2.
Por propiedades de las raíces tenemos que : x2 + bx/a + c/a
Luego multiplicamos por a para que quede a(x - x1)(x - x2) = a(x2 + bx/a + c/a) ahora tenemos:

a(x2 + bx/a + c/a) = ax2 + bx + c ... q.e.d. (quedaRÁ esto demostrado... no está demostrado aún pues no he demostrado las propiedades de la suma y multiplicacion de raíces o soluciones que ya expondré).


2) Factorización sintética
Esto lo aprendí hoy. Yo antes cuando veía un binomio de la forma a6 - b6 lo factorizaba por diferencia de cubos.

(a2 - b2)(a4 + a2b2 + b4). Luego : (a + b)(a - b)(a4 + a2b2 + b4). Pero hoy aprendí una forma "más sencilla".
Resulta que hay una forma de factorizar a6 - b6 con División sintética.

Por cocientes notables (a6 - b6) es divisible por (a - b).
Queda de esta forma: (a - b)(a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5)

Y ahora me doy cuenta que lo mio puede estar bien eso de (a + b)(a - b)(a4 + a2b2 + b4) pues hay que ver si (a + b)(a4 + a2b2 + b4) = (a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5)

a(a4 + a2b2 + b4) = a5 + a3b2 + ab4
+
b(a4 + a2b2 + b4) = a4b + a2b3 + b5
___________________________
a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5 que es lo que se quería demostrar.

¡¡Estaba bien yo!! :D


Tres formas de factorizar a2 + 2ab + b2

1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) (por simple inspeccion o factorizacion de trinomios cuadrados perfectos)

2) a2 + 2ab + b2 = a2 + ab + ab + b2 = a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b) por agrupación de términos.

3) a2 + 2ab + b2 (trinomio ordenado de grado dos)
a2 + 2b(a) + b2 hay que encontrar dos "expresiones" que sumadas den 2b y multiplicadas "b cuadrado". Al encontrarlas tenemos "b" y "b" entonces se factoriza (a + b)(a + b) xDDD

creativas formas que se me ocurrieron jaja

Friday, November 05, 2004

"Math-XeScO"

Hola^^. Soy XeScO un matemático chileno... bueno aquí expondré cosas matemáticas y cosas que quisiera compartir.

Aportes inmediatos:
- Suma de los primeros n numeros naturales: n(n + 1) : 2 .
Ejemplo: suma de los primeros 5 numeros naturales es 5(5+ 1) : 2 ...
5 x 6 = 30... 30 : 2 = 15.
Comprobacion: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

Aplicación: La suma de los primeros n^2 números naturales es 45. Encontrar la suma de los primeros N numeros naturales.
a) 6
b) 9
c) 15
d) 100
e) 3

Solucion: n(n + 1) / 2 = 45
n2 + n = 90 / -90
n2 + n - 90 = 0.
n = [-1 + - (1 - -360)^1/2 ]/2 (OJO ^1/2 es raiz cuadrada de lo dentro del parentesis)
n1 = 9 n2 = -10. Descartamos n2= -10 porque pensemos en el enunciado "la suma de los primeros -10 numeros naturales" NO TIENE SENTIDO!
PERO!!!
no hemos terminado... nos decian "de los primeros n2" numeros naturales. Le extraemos la raiz cuadrada a 9 y obtenemos 3. Ahora nos piden la suma de los primeros N numeros naturales.

Luego 3(3 + 1)/2 = 6!!!! ESA ES LA RESPUESTA :D



Otro tipo de problema.
10x2 + 1 = (x + 13)^2.
10x^2 + 1 = x^2 + 26x + 169 / - x^2 - 26x - 169
9x^2 - 26x - 168 = 0.

x= [26 +- raiz cuadrada de (676 - -6048) ] / 18

Luego X = (26 +- 82) / 18
X1 = 6 X2 = -3.111111111 (-3 1/9)
ESOP ^^ !